質數的故事

 

質數(prime number)無聊嗎?「質數的孤獨」卻似乎帶了些詩意。別忘了化學家一提蛋白質就令人冷感,王文華大師的「蛋白質女孩」可有多紅!

Prime有最初的、原始的意思,也如「質」字有根本和基本的意思!我們的「小學」在西方就可稱為"primary school"或"fundamental or elementary school"。

正好,最早研究質數的可溯源到古希臘的歐幾里德的數學原本(Euclid’s Element)。這本書中指出
1. 比1大,只能被1和自身整除的自然數叫做質數。(為什麼不算1?)
2. 最老且最小的質數是2(有多老?)
3. 找質數的方法是把質數相乘再加1,譬如2+1;2×3+1的方式去找。(所以歐幾里德雖然証明了2是最小的質數,找其他的質數卻是靠try error的經驗嗎?)
4. 除了2,其他質數都是奇數!(這能算規則嗎?)
還有,有些數學家窮畢生之力,宣稱找到了最大的質數。而張益唐博士研究「質數間距」的「界限」卻能証明衝破了「質數牆」!什麼是質數牆?更基本的問題是為什麼質數是「根本」?歡迎喜歡數學的來擺龍門陣。

更歡迎有人來談談質數究竟有什麼用?老師同學們也別忘了今年CASE「台積電青年尬科學」的主題正是數學!

Ref 1: http://technews.tw/2013/06/28/bounded-gaps-between-primes/

shutterstock_121083364 (1)

質數的故事

作者/李武炎(曾任教於淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。)

數論(或整數論)是一門古老的學問,數論中有許多問題看似非常淺顯易懂,也非常吸引人,可是證明起來卻非常難,甚至於到現在都還沒有定論。構成數論學門最基本的元素就是質數,很多有趣的數學猜想都伴隨質數或與質數有關,數學家孜孜戮力就是在尋求這些問題的答案。質數是指一個大於1 的正整數,它只有1 與自己兩個正因數,例如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 等均是。這些所列的是小於50 的質數,其中2 為偶數,其他都是奇數,有人稱2 是最老的質數,因為還有新的質數不斷地被發現。事實上,2 也是唯一的偶質數,這很容易可以看出來,如果n 為一個大於2 的偶數,則

不是質數。一個非常重要的觀察是上面所列的質數數列似乎還可以繼續下去,事實上質數有無限多個,這一個事實遠在公元前3 世紀時就由歐幾里得(Euclid)加以證明,這個簡潔而漂亮的證明出現在《幾何原本》(Euclid’s Elements)第九冊的第20 個命題。



歐幾里得的證明點子可以用下列的說明來顯示:首先2 是最老的質數(第一個質數),則a=2+1=3 也為質數,將它加入質數的行列得{2,3};然後再計算a=2×3+1=7 也是質數,加入質數的行列得{2,3,7};再計算a=2×3×7+1=43又得一個質數,因此得4 個質數:{2,3,7,43};並利用同樣的技巧計算a=2×3×7×43+1=1807,但1807=13×139 非質數,而13 為質數,將13 加入質數的行列,此時我們得{2,3,7,43,13};再一次計算a=2×3×7×43×13+1=23479,此時23479=53×443,53 為質數,因此質數名冊上出現{2,3,7,43,13,53},但我們不會到此停止,原則上我們會繼續同樣步驟去找出任意個數的質數名冊。

既然已經知道質數有無限多個,我們不禁要問質數的公佈情形,直覺上我們認為合成數(非質數)比質數多很多,但質數佔所有正整數的比例到底是怎樣?如果我們設π(x) 是指小於或等於x 的質數個數。例如π(10)=4,因為小於10 的質數一共有2、3、5、7 四個,同理π(20)=8。

從表一來看,很明顯地,當x 愈來愈大則π(x)/x 愈來愈小,這又引起另一個問題,就是π(x)/x 這個比值減少的速度有多快,事實上,歷史上已有數學家得到這個結果,這就是有名的質數定理,如表二。這裡的lnx 是指以e 為底的對數, 即lnx=logex, 而e 是微積分中的一個常數,它是一個無理數,其值約2.7182818…,lnx 稱為自然對數,是在微積分中很重要的一個函數,尤其在處理人口成長、複利生息以及放射物質的衰變時常常用到。 ……【更多內容請閱讀科學月刊第567期】

2_2_2_2  所以當x 愈來愈大的話,π(x) 會愈接近 3_2 複本Table 1

Table 2

You may also like...

發表迴響

你的電子郵件位址並不會被公開。 必要欄位標記為 *